یک سوال بی پاسخ تشریحی(!) از جبر و احتمال!

[Phenotype_2]

دوست گلم نه اینکه نفهمیده باشممش ، فقط نمیدونم دلیلش رو!
اینم پاسخ نامه گزینه 2:

فایل پیوست 43599

چرا نمیشه توان های دو رو به صورت جمع اعداد متوالی نوشت؟
جالبه تو کتاب جبر هم نگفته چرا فقط تو قسمت اصل اسقرا ( اگه اشتباه نکنم) یه تمرین داده اخرش هم گفته که نمیشه تمام اعداد رو به صورت جمع های متوالی نوشت!
حالا سوال من اینکه چرا نمیشه اعداد تواد دو رو به این صورت نوشت؟
اثباتش تو کدوم صفحه از کتابه؟

عکس بالا رو نگاه کن. فرص کنیم عدد n رو بشه به صورت مجموع k عدد متوالی با شروع از a نوشت. من این کارو تو عکس انجام دادم. مجموع k عدد متوالی با جمله اول a رو هم بر حسب a و k بدست اوردم.

ادعا میکنم اگه n توانی از دو باشه هیچ a و k ای وجود نداره. ب عبارتی هیچ توانی از 2 رو نمیشه ب صورت مجموع k عدد متوالی نوشت. و اما دلیل؟

دو عامل k و (2a + (k-1 در صورت رو در نظر بگیر. اگه اولی فرد باشه دیگری زوجه و اگه اولی زوج باشه دیگری فرده.میپرسی چرا؟ اگه k زوج باشه k-1 فرده. مجموع عدد فرد k-1 با عدد زوج 2a هم عدد فردی خاهد شد. پس زوج بود عامل اول فرد بودن عامل دوم صورت رو ایجاد میکنه. ب همین ترتیب فرد بودن k زوج بودن (2a + (k-1 رو ایجاب میکنه. پس صورت اقلا ی عامل فرد داره. این ایجاب میکنه ک طرف راست تساوی اخر الزاما ی عامل فرد داشته باشه. ولی هیچ توانی از 2 عامل فردی نداره. این ب این معنیه تساوی اخری به ازای هر توانی از 2 برای هیچ مقادیر k و aایی قابل برقراری نیست و هیچ توانی از 2 رو نمیشه ب صورت مجموع k عدد متوالی نوشت. چون k عدد دلخاهیه پس هیچ توانی از رو نمیشه ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت. هر عددی غیر از توان های دو اقلا ی عامل فرد داره. پس همه اعداد بجز توانهای دو رو میشه ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت.

ای کاش دوستانی ک این سوال رو توی 5 ثاینه سر جلسه حل کردن اگه استدلالی بر این مطلب داشتنارایه ش میکردن تا ما هم چیزی یاد بگیریم.

دوست خوبم the end ی عکس گزاشته بود. ولی ب نطر نا کافی اومد. توش نوشته بود "میتوان ثابت کرد" ولی ثایت نکرده بود. ب نظر میاد اونهه حرف زدنی ک توی عکس هست خیلی پیچیده تر اثبات این مطلب بود. اخرش رو گفته میتوان ثابت کرد ولی کو اثبات!

هین استدلال میگه چطور عدد دلخاه بجز توانی از دو رو ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت. مثلا مییخای 56 رو ب صورت مجموع اعداد متوالی بنویسی. 56 رو 2 برابر میکنیم ک میشه 112. بعدش 112 رو ب صورت حاصلضرب دو عدد بنویس ک یکی از اعداد فرد باشه. مثلااول ب صورت 4×28 مینویسیمش که هر دو زوجن. بعدش میشه ی عامل دو رو بین دو عامل جابجا کرد ک بشه 8×14. بازم ی عامل دو رو جابجا میکینم ک بشه 7×16. خب حالا یکی زوجه یکی فرد. میشه فرض کرد k=7 باشه. اکه از تساوی اخر عکس استفاده کنیم a=5. در نتیجه
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 56
یا برعکس فرض کنیم k=16 باشه بدست میاریم a=-4. پس 56 ب صورت 16 عدد متوای باشروع از -4 ام نوشته میشه.

عدد 40 در نظر بگیر. اول دو برابرس میکینم میشه 80. حالا 80 رو ب صورت حاصلضرب دو عدد میینویسیم. مثلا 2×40 ک هر دو زوجن و مطلوب ما نیست کلا فقط حالت 5×16 مطلوبه. اگه k=5 باشه بدست میاریم a=6 پس
6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40
یا اگه k=16 فرض کنیم. بدست میاریم a=-5 پس 40 ب صورت 16 عدد متوالی با شرو از -5 هم میشه.
ارتباتش با عدد 56 ر میبینی؟ از 16 عدد متوالی با شرو از -4 که عدد 56 رو ایجاد کردن ی واحد کم کنیم از 56 دقیقا 16 واحد کم میشه ینی عدد 40 و شرو میشه عدد منفی5


عدد 46 و هم بگم؟ اول دو برابرش میکنیم ک بشه 92. مینویسیمش 4×23 ک تنها حالته مطلوبه. اگه فرض کنیمk=4 ب سادگی از تساوی اخر عکس بدست میاریم a=10
10 + 11 + 12 +13 = 46
ی بسط دیگه با فرض k=23 و a=-9 هم وجود داره.

بطور کل اکه جمله اول a عدد مثبتی باشه، اگه تمام اعداد که قدر مطلقشون کوچکتر از a-1 هستش رو ب مجموعه ازافه کنیم، ی جواب دیگه از مسله بدست میاد. چرا؟ چون مجموع همه اعداد صحیح بین منفی a-1 تا a-1 میشه صفر.

مثل تلاش برای نوشتن 56 ب صورت مجموع اعداد متوالی 7 عدد 5 تا 11 ر بدست داد. 9 عدد منفی 4 تا 4 رو هم اگه ازافه کنیم ب ی جواب دیگه میرسم. پس 16 عدد متوالی با شرو از -4 ی جواب دیگه برای نوشتن 56 ب صورت مجموع اعداد صحیح و متوالیه.

واسه همین گاهی شرو از اعداد منفی رو کنار میزارم و فقط ب فقط ب شرو اعداد با اعداد مثبت توجه میکنیم(به شرطی ک عددی ک تلاش برای نوشتنش ب صورت مجموع اعداد متوالی داریم عدد مثبتی باشه)

دوست دارم این مسله رو تعمیم بدم. گفتیم ک اگه n ب صورت توانی از 2 نباشه میشه ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشتش. سوال اینکه ب چند روش میشه میشه عدد n رو ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت؟ خودم جواب رو میزارم ب زودی. اجازه بده دوستان علاقه مند کمی فکر کنن.

[ali1375-0016]

عکس بالا رو نگاه کن. فرص کنیم عدد n رو بشه به صورت مجموع k عدد متوالی با شروع از a نوشت. من این کارو تو عکس انجام دادم. مجموع k عدد متوالی با جمله اول a رو هم بر حسب a و k بدست اوردم.

ادعا میکنم اگه n توانی از دو باشه هیچ a و k ای وجود نداره. ب عبارتی هیچ توانی از 2 رو نمیشه ب صورت مجموع k عدد متوالی نوشت. و اما دلیل؟

دو عامل k و (2a + (k-1 در صورت رو در نظر بگیر. اگه اولی فرد باشه دیگری زوجه و اگه اولی زوج باشه دیگری فرده.میپرسی چرا؟ اگه k زوج باشه k-1 فرده. مجموع عدد فرد k-1 با عدد زوج 2a هم عدد فردی خاهد شد. پس زوج بود عامل اول فرد بودن عامل دوم صورت رو ایجاد میکنه. ب همین ترتیب فرد بودن k زوج بودن (2a + (k-1 رو ایجاب میکنه. پس صورت اقلا ی عامل فرد داره. این ایجاب میکنه ک طرف راست تساوی اخر الزاما ی عامل فرد داشته باشه. ولی هیچ توانی از 2 عامل فردی نداره. این ب این معنیه تساوی اخری به ازای هر توانی از 2 برای هیچ مقادیر k و aایی قابل برقراری نیست و هیچ توانی از 2 رو نمیشه ب صورت مجموع k عدد متوالی نوشت. چون k عدد دلخاهیه پس هیچ توانی از رو نمیشه ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت. هر عددی غیر از توان های دو اقلا ی عامل فرد داره. پس همه اعداد بجز توانهای دو رو میشه ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت.

ای کاش دوستانی ک این سوال رو توی 5 ثاینه سر جلسه حل کردن اگه استدلالی بر این مطلب داشتنارایه ش میکردن تا ما هم چیزی یاد بگیریم.

دوست خوبم the end ی عکس گزاشته بود. ولی ب نطر نا کافی اومد. توش نوشته بود "میتوان ثابت کرد" ولی ثایت نکرده بود. ب نظر میاد اونهه حرف زدنی ک توی عکس هست خیلی پیچیده تر اثبات این مطلب بود. اخرش رو گفته میتوان ثابت کرد ولی کو اثبات!

هین استدلال میگه چطور عدد دلخاه بجز توانی از دو رو ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت. مثلا مییخای 56 رو ب صورت مجموع اعداد متوالی بنویسی. 56 رو 2 برابر میکنیم ک میشه 112. بعدش 112 رو ب صورت حاصلضرب دو عدد بنویس ک یکی از اعداد فرد باشه. مثلااول ب صورت 4×28 مینویسیمش که هر دو زوجن. بعدش میشه ی عامل دو رو بین دو عامل جابجا کرد ک بشه 8×14. بازم ی عامل دو رو جابجا میکینم ک بشه 7×16. خب حالا یکی زوجه یکی فرد. میشه فرض کرد k=7 باشه. اکه از تساوی اخر عکس استفاده کنیم a=5. در نتیجه
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 56
یا برعکس فرض کنیم k=16 باشه بدست میاریم a=-4. پس 56 ب صورت 16 عدد متوای باشروع از -4 ام نوشته میشه.

عدد 40 در نظر بگیر. اول دو برابرس میکینم میشه 80. حالا 80 رو ب صورت حاصلضرب دو عدد میینویسیم. مثلا 2×40 ک هر دو زوجن و مطلوب ما نیست کلا فقط حالت 5×16 مطلوبه. اگه k=5 باشه بدست میاریم a=6 پس
6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40
یا اگه k=16 فرض کنیم. بدست میاریم a=-5 پس 40 ب صورت 16 عدد متوالی با شرو از -5 هم میشه.
ارتباتش با عدد 56 ر میبینی؟ از 16 عدد متوالی با شرو از -4 که عدد 56 رو ایجاد کردن ی واحد کم کنیم از 56 دقیقا 16 واحد کم میشه ینی عدد 40 و شرو میشه عدد منفی5



دوست دارم این مسله رو تعمیم بدم. گفتیم ک اگه n ب صورت توانی از 2 نباشه میشه ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشتش. سوال اینکه ب چند روش میشه میشه عدد n رو ب صورت مجموع اعداد متوالی نوشت؟ خودم جواب رو میزارم ب زودی. اجازه بده دوستان علاقه مند کمی فکر کنن.