مسایل مکان هندسی

[Phenotype_2]

دایره اپولونیوس:
ثابت کنید مکان هندسی نقطه ای از فضا که نسبت فاصله ش از دو نقطه ثابت و غیر منطبق P و Q به فاصله a با حفظ ترتیب برابر مقدار معلوم m/n ی کره ست. شعاع کره بر حسب a، m, n چقده؟ فاصله مرکز کره از نقطه P یا Q چقده؟

[Phenotype_2]

فرض کنیم L خطی باشه که P و Q میگزره. فرض کنیم X نقطه ای روی L باشه بطوری که XP/XQ=m/n
ب کمک قوانین تناسب میشه نوشت:
(XP/m=XQ/n= (XP+XQ)/(m+n)=(XP-XQ)/(m-n

اگه X بین P و Q باشه داریم XP+XQ=a
و اگه X خارج از P و Q باشه با فرض اینکه m>n باشه داریم XP-XQ=a

پس دو نقطه روی خط L وجود داره که در مکان هندسی مورد نظر صدق میکنه. اگه نقطه بین P و Q رو R و نقطه خارج رو S بنامیم داریم:
(QR = an/(m+n
(QS = an/(m-n

حالا فرض کنیم Y نقطه ای خارج از L باشه بطوری که YP/YQ=m/n
پاره خط های YP، YR, YQ, YS رو رسم مکینم. در مثلث YPQ چون YP/YQ=PR/RQ پس YR بنا بر قضیه نیمسازها، نیمسازه داخلی زاویه Y از مثلث YPQ هستش.
ب همین ترتیب YS نیم ساز خارجی مثلث YPQ هستش. چون نیمسازهای داخلی و خارجی بر هم عمودن پس مثلث YSR قایم الزاویه س. از اینجا نتیجه میشه Y از وسط RS به فاصله نصف طول RS قرار داره(میانه وارد بر وتر مثلث قایم االزاویه نصف وتره). پس مکان هندسی مورد نظر کره ای ب مرکز وسط RS و طول شعاع نصف RS
میشه نوشت:
(RS = QR + QS = an/(m+n) + an/(m-n)= 2mn (m²-n²

این مسله ب تنهایی 90 درصد هندسه 2 رو پوشش میده.

[Phenotype_2]

مکان هندسی نقطه از فضا که مجموع مربعات فاصله ش از دو نقطه P و Q به فاصله a برابر مقدار معلوم K² باشه؟

[Phenotype_2]

مکان هندسی نقطه ای از صفحه که تفاضل مربع فواصلش از دو نقطه ثابت P و Q به فاصله a از همون صفحه برابر مقدار ثابت K2 باشه؟

جواب قبلی رو هم امشب میزارم. گفتم شاید کسی دوست داشته باشه کمی به سوالا فک کنه.

[E=MC2]

مکان هندسی نقطه ای از صفحه که تفاضل مربع فواصلش از دو نقطه ثابت P و Q به فاصله a از همون صفحه برابر مقدار ثابت K2 باشه؟

جواب قبلی رو هم امشب میزارم. گفتم شاید کسی دوست داشته باشه کمی به سوالا فک کنه.

حل

شاید غلط باشه

[Phenotype_2]

از دو نقطه معلوم و متمایز بر/روی یک دایره معلوم دو وتر موازی رسم کنید به طوری که مجموع طولهایشان مقدار معلومی باشد.

سوالت این بود؟
سوالتو نمیبینم دیگه ولی تو زهنم بود. جاهایی ک اشتباه نوشتی رو درستر و قرمز نوشتم.

میخایم از دو نقطه ی متمایز A و B بر دایره معلوم ب مرکز O، دو وتر موازی طوری رسم کنید بطوری ک مجموع طولاشون 2c باشه
از نقطه M وسط AB دایره ای ب طول شعاع c(ن 2c) رسم میکنیم تا دایره ای ب مرکز O و طول شعاع OM رو در P و/یا Q قطع کنه. البته ممکنه اصلا برخوردی وجود نداشته باشه، در این صورت مسله جواب نداره و یا اگه دو برخورد وجود داشته مسله دو دسته جواب داره. مجموع طول وتر هایی ک از A و B موازی MP و/یا MQ بر دایره ی معلوم مسله رسم شدن 2c خاهد بود.
@E=MC2

[E=MC2]

از دو نقطه معلوم و متمایز بر/روی یک دایره معلوم دو وتر موازی رسم کنید به طوری که مجموع طولهایشان مقدار معلومی باشد.

سوالت این بود؟
سوالتو نمیبینم دیگه ولی تو زهنم بود. جاهایی ک اشتباه نوشتی رو درستر و قرمز نوشتم.

میخایم از دو نقطه ی متمایز A و B بر دایره معلوم ب مرکز O، دو وتر موازی طوری رسم کنید بطوری ک مجموع طولاشون 2c باشه
از نقطه M وسط AB دایره ای ب طول شعاع c(ن 2c) رسم میکنیم تا دایره ای ب مرکز O و طول شعاع OM رو در P و/یا Q قطع کنه. البته ممکنه اصلا برخوردی وجود نداشته باشه، در این صورت مسله جواب نداره و یا اگه دو برخورد وجود داشته مسله دو دسته جواب داره. مجموع طول وتر هایی ک از A و B موازی MP و/یا MQ بر دایره ی معلوم مسله رسم شدن 2c خاهد بود.
@E=MC2

الان اثباتش کردی؟

[E=MC2]

مکان هندسی نقطه از فضا که مجموع مربعات فاصله ش از دو نقطه p و q به فاصله a برابر مقدار معلوم k² باشه؟

چون گفتی مجموع به احتمال زیاد باید دایره ای با شعاع ثابت k2 باشه
اثباتشو اگه بلد بودم کامل اثبات کنم می ذارم

[Phenotype_2]

الان اثباتش کردی؟

تو چیزی بجز رسم کردن پرسیدی؟ گفتی رسم کن. رسم کردم دیگه. اثباتش بگم؟

[E=MC2]

تو چیزی بجز رسم کردن پرسیدی؟ گفتی رسم کن. رسم کردم دیگه. اثباتش بگم؟

آره

[Phenotype_2]

دو قضیه رو مرور کنیم.
دو وتر متساوی از ی دایره ب ی فاصله از مرکز هستن و برعکس
طول پاره خطی ک وسط دو ساق ی زوزنقه متساوی الساقین رو ب هم وصل میکنه(میانه ی زوزنقه) نصف مجموع طول دو قاعده س

من دایره ای ب مرکز O و طول شعاع OM رسم کردم تا وسط همه ی وتر هایی رو پبدا کنم ک با AB متساوی هستن دو وتر متساوی، و دو وتر موازی میشن ی زوزنقه.

بعدش دایره ای ب مرکز O و طول C رسم کردم تا مجموع طول دو وتر موازی بشه 2c

دو قضیه رو هم ثابت کنم؟ ب ویژه واس دومی اثبات جالبی دارم

[Phenotype_2]

حل

شاید غلط باشه

دور شدن از قرار داد های مثلث، بسته ب ماهیت مسله میتونه خیلی دردسر ساز باشه. ب مثلث سه راس، سه زاویه، سه طول، س ارتفاع، سه پای ارتفاع، سه میانه، سه پای میانه، سه عمود منصف، سه نیم ساز، سه پای نیم ساز، تعداد زیادی دایره مثلا یک دایره ی محیطی، 4 دایره محاطی، ی دایره ی 9 نقطه، تعداد زیادی مثلث مثلا مثلث ناپلئونی، تعداد زیادی خط مثلث خط سیپسون نسبت میدیم بهتره قرار داد های مثلث رو نشکنی. راس س مثلث رو با A، B و C نشون میدن. پاهای ارتفاع رو با Hi ک i اندیسی درست و مثبت نا بزرگتر از 3 ه.
طول پاره خط AB رو میشه با AB هم نشون داد. ولی اگه ب قرار داد ها پایبند باشیم، درد سرها کمتره

مثلث رو با ABC نشون بده روی شکل. پای ارتفاع هم با H. اینجوری بدون اینکه اشاره ای بکنی میتونی بجای طول AB بنویسی C و بجای طول AC هم b, طول AH هم ک طبق قرار داد h1ه ک واسه ساده تر شدن با h نشونش میدیم. روی شکل یا ب کمک دو تساوی هم لازمه نشون بدی BH=x و CH=y
خوب تو نوشتی:
c2 - x2 = b2 - y2
بهدش نوشتی
b2 - c2 = x2 - y2 = k2

بعدش حلت تموم شده. توی خط اخر ب دو تساوی اشاره شده. یکی b2 - c2 = k2 ه ک داده ی مسله س، و دیگری x2-y2=k2. اینجا جایی بود ک حل باید تموم میشد؟ این x2 - y2 =k2 نباید اشاره بشه ب اینکه چیه و چطور این تساوی حل رو کامل میکنه؟ ب شکلی ک کشیدی ی اشکال بزرگ وارد میشه ک تموم استدلالتو نا درست میکنه. اینکه نقطه a رو از کجا اوردی؟ نقطه a (ی نقطه رو بنا ب قرار داد باید با حروف بزرگ نشون بدی. حروف کوچیک اشاره میکنن ب طول پاره خط ها) دلخاهه؟ اگه دلخاهه پس معادله x2 - y2 = k2 باید حل بشه.

ولی ادامه بده... خیلی ب جواب نزدیکی.

[E=MC2]

دور شدن از قرار داد های مثلث، بسته ب ماهیت مسله میتونه خیلی دردسر ساز باشه. ب مثلث سه راس، سه زاویه، سه طول، س ارتفاع، سه پای ارتفاع، سه میانه، سه پای میانه، سه عمود منصف، سه نیم ساز، سه پای نیم ساز، تعداد زیادی دایره مثلا یک دایره ی محیطی، 4 دایره محاطی، ی دایره ی 9 نقطه، تعداد زیادی مثلث مثلا مثلث ناپلئونی، تعداد زیادی خط مثلث خط سیپسون نسبت میدیم بهتره قرار داد های مثلث رو نشکنی. راس س مثلث رو با a، b و c نشون میدن. پاهای ارتفاع رو با hi ک i اندیسی درست و مثبت نا بزرگتر از 3 ه.
طول پاره خط ab رو میشه با ab هم نشون داد. ولی اگه ب قرار داد ها پایبند باشیم، درد سرها کمتره

مثلث رو با abc نشون بده روی شکل. پای ارتفاع هم با h. اینجوری بدون اینکه اشاره ای بکنی میتونی بجای طول ab بنویسی c و بجای طول ac هم b, طول ah هم ک طبق قرار داد h1ه ک واسه ساده تر شدن با h نشونش میدیم. روی شکل یا ب کمک دو تساوی هم لازمه نشون بدی bh=x و ch=y
خوب تو نوشتی:
C2 - x2 = b2 - y2
بهدش نوشتی
b2 - c2 = x2 - y2 = k2

بعدش حلت تموم شده. توی خط اخر ب دو تساوی اشاره شده. یکی b2 - c2 = k2 ه ک داده ی مسله س، و دیگری x2-y2=k2. اینجا جایی بود ک حل باید تموم میشد؟ این x2 - y2 =k2 نباید اشاره بشه ب اینکه چیه و چطور این تساوی حل رو کامل میکنه؟ ب شکلی ک کشیدی ی اشکال بزرگ وارد میشه ک تموم استدلالتو نا درست میکنه. اینکه نقطه a رو از کجا اوردی؟ نقطه a (ی نقطه رو بنا ب قرار داد باید با حروف بزرگ نشون بدی. حروف کوچیک اشاره میکنن ب طول پاره خط ها) دلخاهه؟ اگه دلخاهه پس معادله x2 - y2 = k2 باید حل بشه.

ولی ادامه بده... خیلی ب جواب نزدیکی.

آره a نقطه دلخواهه که با C و B فاصله داره
الان خسته ام غروب کاملترشو می ذارم
فقط یه چیزی گفتی تفاضل فاصلش دقیقا مشخص کن چه فاصله ای چون جواب نهایی فرق داره مکان هندسیش دیگه یه خط نمی شه بیشتر از یه خط می شه
ولی جوابش همینیه که گفتم ؟؟خط عمود بین دو نقطه مفروض؟

[Phenotype_2]

چیزی ک من درگیرشم اینکه تو چرا نمیگی خودت(مهدی، من) ب قرار دادها پایبند نبوده!

[E=MC2]

مفهوم برام مهمتره راحت باش )))))))))