سوالی از ریاضی با نتیجه ای برای فیزیک!

[jarvis]

سلام دوستان
میخوام سوالی رو مطرح کنم که مربوط به ریاضی(از مشتق و کاربرد) میشه ولی نتیجه ای که از حل سوال می گیریم منجر به درک نکته ای از فیزیک (حرکت شناسی) میشه که تو بعضی از جزوات بیان میشه.
هدف ما 1- روشن تر کردن ارتباط ریاضی و فیزیک و 2- فهماندن دلیل آن نکته که بیان می شود.
از دوستان گلی که علاقه ای به فکر کردن ندارند دعوت میشود که به ما بپیوندند. لازم به ذکره که این مقال به آشنایی با مشتق نیاز منده.

[ShahabM]

شیب خط گذرنده از دو نقطه باد شده همان سرعت متوسط در بازه زمانی بین آن دو ست.
از طرفی، چون تابع مورد نظر درجه دومه، حرکت ما، شتابدار (شتاب ثابت) است. در حرکت شتابدار، سرعت متوسط بین دو لحطه، میانگین سرعت دو لحظه است.

مسیله فوق همین نکته رو نشون میده. (صورت بندی دقیق ریاضی داره و به جورایی مطلب بالا رو ثابت می کنه)

[jarvis]

چون شاید در آینده ای دور کسی استفاده کنه پاسخش رو میزارم.

[Phenotype_2]

چقت محاسبه!

وقتی تابعی درجه دو باشه مشتقش درجه 1ه. تابع درجه 1 ی تابعه خطیه. اگه دو نقطه روی ی تابع خطی انتخاب کنی عرض نقطه وسط اون دو نقطه میشه نصف مجموع عرض دو نقطه انتخاب شده. چرا؟ چون پاره خطی ک وسط دو ساق ی زوزنقه رو ب هم وصل میکنه نصف مجموع دو قاعدس.

تابع مکان زمان متحرکی روی خط راست با شتاب ثابت ی تابع درجه دو بر حسب زمانه. پس تابع سرعت ی تابع خطی ینی درجه 1 استش. چون تابع سرعت ی خطه پس مقدار سرعت در لحظه وسط بین دو لحظه معلوم، نصف مجموع سرعته دو لحظه معلومه.

محاسبه میخاست این؟ دم هندسه گرم. وقتی بدونیش همه مسایل فرم ساده تر دارن. تحلیل متمایزی بت میده.

[Phenotype_2]

فرض کن بخای ثابت کنی نقطه عطف تابع درجه سه وسط نقاط ماکسیمم و مینیمم تابع هستش اگه تابع ماکسیمم و مینیمم داشته باشه.
دو جور میشه عمل کرد. یکی اینکه راه بیفتی مشتق بگیری از تابع پارامتری. بعدش ریشه های مشتق رو پارامتری بدست بیاری. ریشه های پارارمتریه مشتق رو در خود تابع قرار بدی و عرض هاشونو بدست بیاری ک اونا هم پارامتری هستن بعدش راه بیفتی طول نقطه عطف رو با محاسبه ریشه مشتق دوم بدست بیاری. بعدش این ریشه مشتق دوم رو در خود تابع قرار بدی عرضشو بدست بیاری اگه توسنتی فقط عرض نقطه عطف رو ب صورت پارامتری بدست بیار!!!. بعد از اینکه دیوونه شدی از حجم محاسبات تا اینجا، تازه بخای نشون نقطه عطف پارامتری ای ک بدست اوردی وسط نقاط ماکسیمم و مینیم پارامتری هستن ک داری. امتحان کن. شدنی نیست. حجم محاسبات دیوونت میکنه.

ولی اینجوری عمل میکنیم.
اگه ی تابع درجه سه ای نقاط ماکسیمم و مینیمم داشته باشه، طول نقاط ماکسیمم و مینیمم باید ریشه های مشتق اول باشن.درسته؟ همه اینو میدونیم. ولی تابع مشتق اول ی تابع درجه دوه. درسته؟ تابع درجه دو میتونه دو ریشه داشته باشه. و گفتیم اون دو ریشه طول نقاط مینیم و ماکسیمم تابع درجه سه هستن. ولی میدونیم تابع درجه دو ک ی سهمیه نسبت ب خط ک کانون رو ب راسش وسط میکنه متقارنه. پس راس تابع درجه دو وسط ریشه هاشه. اما راس تابع مشتق ک ی سهمیه، ریشه مشتق تابعه مشتق هم هست چون نقطه اکسترمم نسبی تابع مشتقه. این ینی طول نقطه عطف وسط طول نقاط اکسترمم تابع درجه سه هستش.
در مورد عرض چ کنیم؟ عرض هم استدلال میکنیم. احتمالا میدونیم ک نقطه عطف مرکز تقارن تابع درجه سه هستش. چون تابع درجه سه نسبت به نقطه عطفش تقارن دارن و چون طول نقطه عطف وسط طول ماکسیمم و مینیم تابع هستش پس عرض نقطه عطف هم وسط اکسترمم های نسبیه.

ب نظرم ازن مثال هم با مسله ای ک تاپیک باهاش شرو شده در ارتباطه. واسه همین گفتتمش.

[Phenotype_2]

پست اول رو خوندم نوشته:

برای بدست اوردن سرعت متوسط متحرکی ک با شتاب ثابت بین دو لحظه t1 و t2 در حرکته میشه میشه نصف سرعت در لحظه وسط t1 و t2

خب. سرعت متوسط رو چطور با داشتن معادله و نمودار تابع سرعت بدست میارین؟ مگه نه اینکه سرعت متوسط میشه جابجایی تقسیم بر زمان؟ مگه ن اینکه جابجایی در این مسله میشه مساحت زیر نمودار سرعت زمان؟ مگه این مساعت ی زوزنقه نیست؟ مگه نمیدونید مساحت زوزنقه میشه ارتفاع در نصف مجموع دو قاعدش نیست؟ پس نمیتونیم بگیم سرعت متوسط در هر بازه زمانی حرکت با شتاب ثابت میشه نصف مجموع دو سرعت در ابتدا و اننتها(نصف مجموع طول دو قاعده زوزنقه)؟ مگه نه اینکه نصف مجموع دو قاعده زوزنقطه با طول میانه ش برابره؟ پس نتیجه نمیشه ک سرعت متوسط در هر بازه زمانی نصف اندازه سرعت در لحظه وسطه؟

[broslee]

مشتق يه تابع درجه دوم درجه اوله.درجه اول يعني آهنگ تغييراتش ثابته.يعني افزايش شيب خط مماس از ايکس1 تا ايکس2 با يک آهنگ پيش ميره پس در وسط فاصله اونها شيب متوسط بازه ايکس1 تا ايکس2 پديدار ميشه.


من اين رو اولين بار تو تمرين فصل يک کتاب درسي فيزيک پيش فهميدم.


که تو حرکت با شتاب متغير خطي شتاب متوسط بين الف و ب مساويه با شتاب در الف+ب تقسيم بر دو

[jarvis]

پست اول رو خوندم نوشته:

برای بدست اوردن سرعت متوسط متحرکی ک با شتاب ثابت بین دو لحظه t1 و t2 در حرکته میشه میشه نصف سرعت در لحظه وسط t1 و t2

خب. سرعت متوسط رو چطور با داشتن معادله و نمودار تابع سرعت بدست میارین؟ مگه نه اینکه سرعت متوسط میشه جابجایی تقسیم بر زمان؟ مگه ن اینکه جابجایی در این مسله میشه مساحت زیر نمودار سرعت زمان؟ مگه این مساعت ی زوزنقه نیست؟ مگه نمیدونید مساحت زوزنقه میشه ارتفاع در نصف مجموع دو قاعدش نیست؟ پس نمیتونیم بگیم سرعت متوسط در هر بازه زمانی حرکت با شتاب ثابت میشه نصف مجموع دو سرعت در ابتدا و اننتها(نصف مجموع طول دو قاعده زوزنقه)؟ مگه نه اینکه نصف مجموع دو قاعده زوزنقطه با طول میانه ش برابره؟ پس نتیجه نمیشه ک سرعت متوسط در هر بازه زمانی نصف اندازه سرعت در لحظه وسطه؟

خداییش بی شوخی نفهمیدم چی گفتی!
خیلی قضیه ای که عرض کردم و بالا گفتم به نظر خودم واضحه؛ البته به قول شما این همه محاسبات هم صرفا برای کامل بودن توضیحات بود.من کلا با این قضیه مشکل دارم؛ یه وقتیه شما خیلی بلدی چیزی که بقیه 5 دقیقه روش فکر میکنن رو 10 ثانیه ای حل و فصل میکنی اما این باعث نمیشه منی که سوال رو طرح کردم کامل مسئله رو شرح و بسط ندم. الان من خودمم میدونم خیلی از قسمت های نوشته بالا اضافیه و یا میشه از راه هندسی به قضیه نگاه کرد ولی نیازه که مسئله رو تشریح کنم
لازمم هست که بگم اساساً قضیه خیلی مهمی نیست این نکته فیزیک. این تاپیک هم همینجوری محض بیکاری دیروز بود که متاسفانه به پرکاری امروزم هم کشیده شد!
اما بعد: اصلا من نگفتم قراره سرعت متوسط رو از روی نمودار سرعت زمان باید محاسبه کرد (من گفتم معادله ی سرعت) یا مثلا مجموع سرعت انتها و ابتدا تقسیم بر دو (که البته نتیجه ای مهم از همین مسئله است) .
فکر کنم تو هم مثل من حال نداشتی کامل بخونی چیزایی رو که بالا نوشتم برای همین بیخودی گیر میدی.

[Phenotype_2]

مشتق يه تابع درجه دوم درجه اوله.درجه اول يعني آهنگ تغييراتش ثابته.يعني افزايش شيب خط مماس از ايکس1 تا ايکس2 با يک آهنگ پيش ميره پس در وسط فاصله اونها شيب متوسط بازه ايکس1 تا ايکس2 پديدار ميشه.


من اين رو اولين بار تو تمرين فصل يک کتاب درسي فيزيک پيش فهميدم.


که تو حرکت با شتاب متغير خطي شتاب متوسط بين الف و ب مساويه با شتاب در الف+ب تقسيم بر دو

شتاب متوسط ک مفهوم به درد بخوری نیست. ولی توی حرکت با حرکت با شتاب اهنگ ثابت بجای نصف شتاب در در لحظات ابتدا د انتها بهتره شتاب در لحظه وسط رو پیدا کنی. اینجوری محاسباتت ساده تره و کمتره.

خداییش بی شوخی نفهمیدم چی گفتی!
خیلی قضیه ای که عرض کردم و بالا گفتم به نظر خودم واضحه؛ البته به قول شما این همه محاسبات هم صرفا برای کامل بودن توضیحات بود.من کلا با این قضیه مشکل دارم؛ یه وقتیه شما خیلی بلدی چیزی که بقیه 5 دقیقه روش فکر میکنن رو 10 ثانیه ای حل و فصل میکنی اما این باعث نمیشه منی که سوال رو طرح کردم کامل مسئله رو شرح و بسط ندم. الان من خودمم میدونم خیلی از قسمت های نوشته بالا اضافیه و یا میشه از راه هندسی به قضیه نگاه کرد ولی نیازه که مسئله رو تشریح کنم
لازمم هست که بگم اساساً قضیه خیلی مهمی نیست این نکته فیزیک. این تاپیک هم همینجوری محض بیکاری دیروز بود که متاسفانه به پرکاری امروزم هم کشیده شد!
اما بعد: اصلا من نگفتم قراره سرعت متوسط رو از روی نمودار سرعت زمان باید محاسبه کرد (من گفتم معادله ی سرعت) یا مثلا مجموع سرعت انتها و ابتدا تقسیم بر دو (که البته نتیجه ای مهم از همین مسئله است) .
فکر کنم تو هم مثل من حال نداشتی کامل بخونی چیزایی رو که بالا نوشتم برای همین بیخودی گیر میدی.

برو بابا... گیر چیه؟! کی گیر داد؟ کو گیر؟ اون "مگه نه" ها رو گیر برداشت کردی؟
سوال رو درست نخوندم؟ تو میخای از روی دو تا سرعت ابتدا و انتهای حرکت با شتاب ثابت سرعت متوسط رو حساب کنی. بعدش حرف از سرعت در لحظه وسط زده شده. این ینی اینکه بخایم از سرعت زمان، سرعت متوسط حساب کنیم.
ن تحلیلتون از مسایل رو دوست دارم، ن برداشتتون از حرفا. چن روز پیش یکی 4 تا سوال ریاضی داده بود فک کنم اسمش کفتر بود.بجای اینکه جوابش بدین جواب داده بودن وظیفه ما نیست. اقا این درکه؟ این شد برداشت از زندگی؟ واسه چی انجمن میای؟ فخر بفروشی؟ مگه واسه سوال اینجا نیستی؟ پس اگه کسی سوالی پرسید و بلد بودی جواب بده. نیتش مهم نیست. من شیفته کسی میشم که از رو تنبلی خوش صد ها سوال با اررزش بپرسه. هر چهار سوالش قشنگ بودن. ب ویژه دومی ولی تو بد جوری قروقاطی جوابش دادی.

کشش نده. تا همینجا بسه. @kaftar