سوال هندسه

[zkia]

سلام
مساحت مثلثی با میانه 3و4و5 را بیابید.؟

[amindrs]

فکر کنم بشه8
مساحت مثلثی که میانه ها باهم می سازن 3/4 مساحت مثلث اولی میشه (اثباتش رو نمیدونم! کسی بلده بگه منم یاد بگیرم)
مساحت مثلثی که با میانه ها ساخته میشه هم 12 میشه! میانه ها اعداد فیثاغورسی میشن که مثلث قایم الزاویه است 3و4 عمود 5 وتر! پس مساحتش میشه 6!( از راه هرون هم میتونی حساب کنی که اگه بلد نیستی بگو)

[Phenotype_2]

فرض کنید G مرکز ثقل مثلث ABC باشه. فرض کنید I وسط BC باشه. GI رو از طرف I به اندازه خودش تا نقطه D امتداد میدیم و پاره خطDC رو رسم میکیم. مثلث های GIB و DIC همنشهت هستن. پس BG=CD. از طرفی از قضیه میانه ها میدونیم AG=2GI. چون GD=2GI هستش پس GD=AI. روی هم رفته نتیجه میگیریم که اضلاع مثلث GDC دو سومه میانه های مثلث ABC هستش.

اما چون CI میانه مثلث GDC هستش پس مساحت مثلث GDC دو برابر مساحت CID هستش. در با گفتیم مثلث های CID و BIG هم نهشت هستن پس هم مساحت هم هستن. پس CGD با BCG هم مساحته. چون از قضیه میانه ها جیدونیم مساحت BCG یک سوم مساحت مثلث ABC هستش پس مساحت CGD هج ی سوم مساحت ABC هستش. رو هم رفته دیده میشه که

چون اضلاع مثلث CGD دو سومه میانه های ABC هسفرض کنید G مرکز ثقل مثلث ABC باشه. فرض کنید I وسط BC باشه. GI رو از طرف I به اندازه خودش تا نقطه D امتداد میدیم و پاره خطDC رو رسم میکیم. مثلث های GIB و DIC همنشهت هستن. پس BG=CD. از طرفی از قضیه میانه ها میدونیم AG=2GI. چون GD=2GI هستش پس GD=AI. روی هم رفته نتیجه میگیریم که اضلاع مثلث GDC دو سومه میانه های مثلث ABC هستش.

اما چون CI میانه مثلث GDF هستش پس مساحت مثلث GDC دو برابر مساحت CID هستش. در با گفتیم مثلث های CID و BIG هم نهشت هستن پس هم مساحت هم هستن. پس CGD با BCG هم مساحته. چون از قضیه میانه ها جیدونیم مساحت BCG یک سوم مساحت مثلث ABC هستش پس مساحت CGD هج ی سوم مساحت ABC هستش. رو هم رفته دیده میشه که

مساحت مثلثی ک توسط دو سوم میانه ها ساخته میشه (مثلث CGD) یک سومه مساحت ABC هستش. پس چهار نهم مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ساخته میشه یک سوم مساحت مثلث هستش.
نتیجه اخر:
مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ی مثلث ساخته میشه سه چهارم مساحت خود مثلثه. @amindrsتش . پس چهار نهم مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ساخته میشه یک سوم مساحت مثلث هستش.
نتیجه اخر:
مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ی مثلث ساخته میشه سه چهارم مساحت خود مثلثه. @amindrs

[zkia]

فرض کنید G مرکز ثقل مثلث ABC باشه. فرض کنید I وسط BC باشه. GI رو از طرف I به اندازه خودش تا نقطه D امتداد میدیم و پاره خطDC رو رسم میکیم. مثلث های GIB و DIC همنشهت هستن. پس BG=CD. از طرفی از قضیه میانه ها میدونیم AG=2GI. چون GD=2GI هستش پس GD=AI. روی هم رفته نتیجه میگیریم که اضلاع مثلث GDC دو سومه میانه های مثلث ABC هستش.

اما چون CI میانه مثلث GDC هستش پس مساحت مثلث GDC دو برابر مساحت CID هستش. در با گفتیم مثلث های CID و BIG هم نهشت هستن پس هم مساحت هم هستن. پس CGD با BCG هم مساحته. چون از قضیه میانه ها جیدونیم مساحت BCG یک سوم مساحت مثلث ABC هستش پس مساحت CGD هج ی سوم مساحت ABC هستش. رو هم رفته دیده میشه که

چون اضلاع مثلث CGD دو سومه میانه های ABC هسفرض کنید G مرکز ثقل مثلث ABC باشه. فرض کنید I وسط BC باشه. GI رو از طرف I به اندازه خودش تا نقطه D امتداد میدیم و پاره خطDC رو رسم میکیم. مثلث های GIB و DIC همنشهت هستن. پس BG=CD. از طرفی از قضیه میانه ها میدونیم AG=2GI. چون GD=2GI هستش پس GD=AI. روی هم رفته نتیجه میگیریم که اضلاع مثلث GDC دو سومه میانه های مثلث ABC هستش.

اما چون CI میانه مثلث GDF هستش پس مساحت مثلث GDC دو برابر مساحت CID هستش. در با گفتیم مثلث های CID و BIG هم نهشت هستن پس هم مساحت هم هستن. پس CGD با BCG هم مساحته. چون از قضیه میانه ها جیدونیم مساحت BCG یک سوم مساحت مثلث ABC هستش پس مساحت CGD هج ی سوم مساحت ABC هستش. رو هم رفته دیده میشه که

مساحت مثلثی ک توسط دو سوم میانه ها ساخته میشه (مثلث CGD) یک سومه مساحت ABC هستش. پس چهار نهم مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ساخته میشه یک سوم مساحت مثلث هستش.
نتیجه اخر:
مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ی مثلث ساخته میشه سه چهارم مساحت خود مثلثه. @amindrsتش . پس چهار نهم مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ساخته میشه یک سوم مساحت مثلث هستش.
نتیجه اخر:
مساحت مثلثی ک توسط میانه ها ی مثلث ساخته میشه سه چهارم مساحت خود مثلثه. @amindrs

سلام و با تشکر از پاسخگویی شما
یه خورده گیج شدم. اگه امکانش هست ساده تر بیان کنید. ممنون

[zkia]

فکر کنم بشه8
مساحت مثلثی که میانه ها باهم می سازن 3/4 مساحت مثلث اولی میشه (اثباتش رو نمیدونم! کسی بلده بگه منم یاد بگیرم)
مساحت مثلثی که با میانه ها ساخته میشه هم 12 میشه! میانه ها اعداد فیثاغورسی میشن که مثلث قایم الزاویه است 3و4 عمود 5 وتر! پس مساحتش میشه 6!( از راه هرون هم میتونی حساب کنی که اگه بلد نیستی بگو)

هرون؟
p(p-a)(p-b)(p-c) زیر رادیکال دیگه ولی فقط روی مثلثی ک میانه میسازه کاربرد داره نه رو مثلث اصلی!
اون قاعده 4/3 رو هم باید از دوستمون(@SUBZERO( تشکر کنیم ک اثبات کرد. البته من فقط نتیجه رو خوندم وهیچی از اثبات متوجه نشدم

ولیبازم ممنون رفقا

[Phenotype_2]

سلام و با تشکر از پاسخگویی شما
یه خورده گیج شدم. اگه امکانش هست ساده تر بیان کنید. ممنون

شکل مناسبی رو کاغذ بکش و گفته هامو دمبال کن. جمله ای ک نفهمیدی رو هایلایت کن ک واست توضیحش بدم.

فرض کردم قضیه میانه های کتاب درسی رو میدونی:
قضیه میانه ها: مینه های هر مثلث همرسن و همدیگه رو به نسبت 2:1 نقسیم میکنه. ینی قطعه ای که بین راس و مرکز ثقیله هستش دو برابر قطه ای از میانه س که بین مرکز ثقل و پای میانه قرار داره. نقطه همرسی میانه ها رو میگیم مرکز ثقل مثلث. چون به ی واقعیت فیزیکی اشاره میکنه اگه ی سوزن رو بزاری زیر صفحه مثلثی همگن، با وجود نیروی وزنش در حالت تعادل باقی میمونه. این حالت تعادلی فقط در نقطه همرسی میانه ها وجود داره واسه همین ب نقطه هرمسی میانه ها میگن مرکز ثقل. فک کنم کتاب درسی هم گفته ک بهش میگن مرکز ثقل